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关于多项式的两个问题

2019-12-26 19:47:47 By IAKIOI

一、关于多项式反双曲余弦

双曲余弦是$\operatorname{ch}F(x)=\frac{\exp(F(x))+\exp(-F(x))}2$。

其中$F(x)$必须满足$[x^0]F(x)=0$,因此最后得到的$G(x)=\operatorname{ch} F(x)$一定满足$[x^0]G(x)=1$。

所以反双曲余弦$\operatorname{arch}F(x)$应该必须满足$[x^0]F(x)=1$才有意义。

根据反双曲余弦的定义$\operatorname{arch}F(x)=\ln(F(x)+\sqrt{(F(x))^2-1})$,必须满足$[x^0](F(x)+\sqrt{(F(x))^2-1})=1$才有意义。解出来应该也是$[x^0]F(x)=1$。

但是如果我们看反双曲余弦的导数$(\operatorname{arch}F(x))'=\frac{F'(x)}{\sqrt{(F(x))^2-1}}$,当$[x^0]F(x)=1$时根号里面的常数项就为$0$,就不一定保证能够开出根。

所以如果要$\operatorname{arch}F(x)$有意义,$[x^0]F(x)$必须要满足什么条件?

在EI大佬的指点和Itst大佬的帮助下上面这个问题已经解决了。

关于多项式高次根的一些小问题已经解决了。

评论

142857cs
你这两个问题意义都不大吧 第二个你好像没有说F的t次项非0。。。加上的话是对的
EntropyIncreaser
如果 $F(x) = \frac{\exp G + \exp -G}2$ 的话,那么由于 $G$ 没有常数项,可以导出 $F$ 没有一次项。另外不难看出从 $G$ 到 $F$ 在 $\bmod x^n$ 情况下是一个会丢失信息量的过程,因此导不回去是正常现象。

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